4.  Redes directa y recíproca
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Empecemos con un resumen de algunos conceptos vistos en apartados anteriores...

Cualquier distribución repetitiva y periódica de un conjunto de objetos (o motivos),  viene caracterizada por las traslaciones que lo repiten periódicamente. A este conjunto de traslaciones lo denominamos red directa (o red real).


 

Izquierda: Fragmento de la distribución de un conjunto de motivos que dan lugar a una red directa en el plano (2 dimensiones). Las cuadrículas amarillas muestran una de las infinitas combinaciones de motivos (pequeños azulejos) que generan la distribución repetitiva y periódica. Las dimensiones de las cuadrículas amarillas.
Derecha:
Fragmento de un mosaico de La Alhambra mostrando igualmente repetición de motivos en 2 dimensiones que dan lugar a una red directa. Los lados de la cuadrícula marcada en rojo representan las dos traslaciones de la red directa más sencilla que se genera por la repetición periódica de motivos. Los lados de la cuadrícula marcada en amarillo también representan una red, pero en este caso es "no primitiva" porque contiene más de un motivo repetitivo en su interior.




Apilamiento periódico de bolas en el espacio de 3 dimensiones que da lugar a una red tridimensional (red directa). El conjunto  que se repite en las tres direcciones del espacio es el contenido de la pequeña caja de bordes azules, la llamada "celdilla unidad".



Las traslaciones que describen las repeticiones en los cristales pueden expresarse como una combinación lineal de tres traslaciones básicas, no coplanares, es decir, independientes, que denominamos ejes reticulares.  Estos ejes definen un paralelogramo (en 2 dimensiones), o un paralelepípedo (en 3 dimensiones) que se denomina 
celdilla unidad. Este área elemental (en el caso de 2 dimensiones), o volumen elemental (en el caso de 3 dimensiones), que encierra la parte mínima de la distribución global, genera mediante traslaciones la distribución completa, que en el caso que nos ocupa (agrupaciones atómicas en 3 dimensiones) se denomina cristal.

Al margen del hecho de que la celdilla unidad (o celdilla elemental) representa la unidad mínima repetitiva en lo que a translaciones se refiere, el lector debe tener en cuenta que el sistema de ejes que la definen son realmente el sistema de referencia sobre los que se definen las coordenadas de la posición que cada átomo ocupa en su interior.


Izquierda: Celdilla elemental definida por las 3 traslaciones no coplanares denominadas ejes reticulares
Derecha: Formación del cristal por apilamiento de celdillas elementales en las 3 direcciones del espacio

Dentro de la celdilla, y debido a los elementos de simetría de la distribución, hay una parte mínima  (unidad asimétrica) que, por aplicación de la simetría, genera el contenido total de la celdilla unidad.

 
El motivo estructural se repite mediante los elementos de simetría, en este caso un eje helicoidal




La repetición del motivo (unidad asimétrica) genera el contenido de la celdilla elemental, 
y la repetición de celdillas elementales genera la totalidad del cristal
 


La red, que es un concepto puramente matemático, puede seleccionarse de varias maneras sobre una misma distribución repetitiva, aunque sólo alguna de estas redes está más de acuerdo con la simetría de la distribución de motivos...



Distribución bidimensional repetitiva de un motivo constituído por dos objetos (un círculo y un triángulo)


 

Izquierda: Celdillas unidad de posibles redes directas (=redes reales) que pueden construirse sobre la distribución repetitiva de la figura superior. Sólo una de ellas (la roja) es la más acorde con la simetría de la distribución
Derecha: La red de trazos rojos de la figura de la izquierda, centrada, es la más acorde con la simetría de la distribución repetitiva, y puede descomponerse en dos redes idénticas, una para cada objeto del motivo.


 
Tal como se muestra en las figuras superiores, aunque especialmente en la de la derecha, cualquier red que describe el motivo total (triángulo + círculo) puede descomponerse en dos redes idénticas equivalentes (una para cada objeto del motivo total). De este modo, el concepto de red resulta independiente de la complejidad del motivo de la distribución, así que puede usarse sólo una de las redes, ya que ésta representa a todas las equivalentes.

Una vez escogida una de las redes representantes, tal que se adecúe a la simetría de la estructura, cualquier punto reticular (nudo de la red) puede describirse mediante un vector que sea combinación lineal entera de los ejes reticulares directos: R = m a + n b + p c, siendo m, n y p números enteros. Los puntos no reticulares se podrán alcanzar a partir del vector R más próximo y añadiéndole las fracciones de eje reticular que correspondan para llegar a él:

r = R + r' = (m a + n b + p c) + (x a + y b + z c)

Vector de posición de cualquier punto no-reticular de la red directa

en donde x, y, z representan a las correspondientes fracciones adimensionales X/a, Y/b, Z/c,  y  X, Y, Z  a las correspondientes longitudes.


Vector de posición de un punto no-reticular (círculo negro)


El lector puede beneficiarse también de  los conceptos de redes y celdilla unidad que se ofrecen desde la Universidad de Cambridge. 
Alternativamente, se puede descargar y ejecutar en su propio computador esta aplicación Java que ilustra el concepto de red (está totalmente libre de virus y fue desarrollada por Gervais Chapuis y Nicolas Schöni, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suiza).


Veamos ahora nuevos conceptos sobre redes directas (= redes reales)...


Desde un punto de vista geométrico, en las redes se pueden considerar líneas y planos reticulares que son los que pasan a través de nudos de la redpuntos reticulares)
. Y del mismo modo que una de las redes se usa como representativa de todas las redes equivalentes, aquí, una línea o un plano, de una de las redes, se usa como representante de todo el conjunto de familias de planos paralelos.


Siguiendo con el razonamiento de más arriba, cada motivo de una distribución repetitiva puede generar su propia red, aunque todas ellas son idénticas (rojaazul). Pues bien, del conjunto de las dos familias de redes y planos equivalentes (rojo y azul) de la imagen de arriba, se suele usar sólo una de ellas, bien entendido que ésta representa a todas. Obsérvese que la distancia entre planos (espaciado interplanar) es el mismo para los planos de color azul o rojo. Sin embargo, la familia de planos rojos está separada de la familia de planos azules por una distancia que depende de la separación entre objetos del motivo que originó la red (distancia geométrica de defase)



Izquierda: Familia de planos reticulares que cortan al eje vertical  de la celdilla en 2 partes y al eje horizontal  en 1 parte. Estos planos son paralelos al tercer eje reticular que no se muestra en la figura.
Derecha: Familia de planos reticulares que cortan al eje vertical de la celdilla en 3 partes  y al eje horizontal en 1 parte. Estos planos son paralelos al tercer eje reticular que no se muestra en la figura.



El número de partes en que una familia de planos corta a los ejes de la celdilla puede asociarse con un triplete de números que identifica a la familia de planos. En las tres figuras anteriores, los cortes, y por tanto los tripletes, serían (110), (210)  y (310), respectivamente, según los ejes vertical, horizontal y perpendicular a la figura. En esta figura, los índices de los planos dibujados serían (022), es decir, que esa familia de planos no corta al eje a, y corta a los ejes b y c en 2 partes iguales, respectivamente. 



El plano que se ha dibujado en la figura de la izquierda forma parte de la familia de planos que corta en 2 partes iguales al eje a, en 2 partes iguales al eje b y en 1 parte al eje c, por lo que el triplete numérico que lo identifica es (221). En la figura de la derecha el plano dibujado, representante de una determinada familia, corta al eje a en 2 partes, al eje b no lo corta (0 partes) y al eje c en 1 parte, por lo que el triplete numérico que lo identifica es (201).

Un sólo plano, como el de la figura superior derecha, expresado por el triplete de números que denominamos índices de Miller,  representa y describe todo el conjunto de familias de planos paralelos que pasan por cada uno de los elementos del motivo. Así, en una estructura cristalina, hay tantos conjuntos de familias de planos como posibles tripletes de números enteros que sean primos entre sí, es decir, que no tengan un divisor común.

La representación genérica de los índices de Miller es mediante el
triplete de letras hkl. Si hay divisores comunes entre los índices de Miller, el triplete numérico representaría a una única familia de planos solamente. Por ejemplo, la familia con índices (330)), que no son estrictamente reticulares, puede considerarse como representante de 3 familias de índices (110)y con una separación igual al defase geométrico de 1/3 del original. (ver las figuras a continuación).


Izquierda: Tres familias de índices (110), cada una respecto de su propia red, mostrando un defase geométrico (entre redes) de 1/3 del espaciado de cada familia.
Derecha: Conjunto de planos de la figura de la izquierda dibujado sobre una de las redes equivalentes, y por tanto con índices de Miller (330) y espaciado 1/3 del de la familia (110).

De este modo, el concepto de índices de Miller, restringido antes a tripletes enteros y primos entre sí, se generaliza a cualquier triplete de enteros. Además, de esta manera, todas y cada una de las familias de planos, llegan a recubrir totalmente el cristal. Y es más, por cada punto del cristal podemos hacer pasar infinitas familias de planos con una infinidad de orientaciones.


Por un punto del cristal (en este ejemplo el centro de la celdilla) pasan una infinidad de familias de planos con también infinidad de orientaciones. En este ejemplo se muestran tan solo tres familias y tres orientaciones

Como es natural, los espaciados interplanares pueden calcularse a partir de sus índices de Miller (hkl) y de los valores de los parámetros reticulares. En la tabla de abajo se muestran estas relaciones que se simplifican para las distintas métricas de las redes...


Cálculo del espaciado interplanar dhkl de una familia de planos con índices hkl en una celdilla de parámetros a, b, cαβ, γ. Las barras indican la función "determinante". En el caso trigonal a=b=c=Aα=β=γ. Naturalmente, este espaciado también es la distancia que separa del origen el primer plano de la familia.

Merece la pena que el lector interesado consulte también el capítulo sobre planos reticulares e índices de Miller que se ofrece desde la Universidad de Cambridge.


Y ahora más conceptos sobre redes: la llamada red recíproca ...


Cualquier plano puede caracterizarse, también, por un vector (σhkl) perpendicular a él. Por lo tanto, la proyección del vector de posición de cualquier punto del plano sobre esta perpendicular es constante e independiente del punto; es la distancia al origen de ese plano, es decir, su espaciado (dhkl).

Cualquier plano puede representarse por un vector perpendicular a él

Consideremos la familia de planos hkl, con distancia interplanar (espaciado) dhkl, y del conjunto de vectores perpendiculares a dicha familia de planos, tomemos como σhkl el de módulo 1/dhkl. El producto escalar entre este vector (σhkl) y el vector de posición (d'hkl) de un punto perteneciente a uno de los planos de la familia es un número entero (n) que nos indica el orden de dicho plano dentro de la familia hkl. Es decir:

(σhkl) . (d'hkl)  =  (1/dhkl) . (n.dhkl)  =  n    (véase figura inferior izquierda)

sería 0 para el plano que pasa por el origen, 1 para el primero, 2 para el segundo, etc.

Por lo tanto, σhkl representa a toda la familia de planos hkl con espaciado interplanar dhkl, y en particular para el primero de dichos planos se cumple que el producto |σhkl| dhkl = 1.
 

Si definimos que el módulo del vector σhkl es 1/dhkl, el producto de ese vector, por el espaciado dhkl de la familia de planos, es la unidad.



Si tomamos un vector, 2 veces más largo que σhkl , el espaciado de la familia de planos que representa, será la mitad. 


A partir de este vector normal, de módulo 1/dhkl, si tomamos otro que sea un número entero (n) de veces más largo, para mantener que el producto del módulo de σhkl por dhkl sea la unidad, éste nuevo vector (n.σhkl ) corresponderá a un espaciado n veces menor que el primero y por lo tanto describiría a la familia de planos nh,nk,nl. En otras palabras, por ejemplo, los siguientes espaciados interplanares mantendrán la relación: d100 = 2.(d200)= 3.(d 300)..., de tal modo que  σ100 = (1/2).σ200(1/3).σ300 ...  y así para cualquier otro conjunto de planos hkl.

De este modo, resulta que los vectores normales (σhkl) son recíprocos a los espaciados interplanares. Los extremos de estos vectores (flechas azules en la figura de debajo) forman también una red periódica de puntos, que por esa propiedad de reciprocidad se llama red recíproca de la red original de traslaciones. Los puntos recíprocos  así obtenidos (círculos verdes en la figura de debajo) reciben el triplete de números hkl (índices de Miller) que representa a la correspondiente familia de planos.


Generación de algunos puntos recíprocos de una red. Por claridad del dibujo el tercer eje de la red directa (c) sería perpendicular al dibujo. Las líneas rojas representan a los planos perpendiculares a la pantalla, cuyos índices se indican en azul. Por ejemplo, el punto recíproco de índices (3,1,0) está situado sobre el vector perpendicular al plano (3,1,0) y su distancia al origen O es inversamente proporcional al espaciado de dicha familia de planos. Ver también el ejemplo animado de la figura de abajo.


Ejemplo animado mostrando cómo se genera la red recíproca a partir de la red directa


Como se observa, por construcción geométrica, la red directa y sus planos están solidariamente asociados con la red recíproca. Además, sobre esta red recíproca se puede definir también una celdilla (celdilla recíproca) cuyas traslaciones periódicas vienen determinadas por tres ejes recíprocos que forman entre sí unos ángulos recíprocos. Si los ejes y ángulos de la celdilla directa se denominaban con las letras a, b, cαβγ, los de la celdilla recíproca se denominan con las mismas letras, añadiéndoles un asterisco: a*, b*, c*α*β*γ*. Obviamente, estos ejes recíprocos  (a*, b*, c*)  corresponderán a los vectores  σ100σ010σ001, respectivamente, de forma que cualquier vector recíproco se puede expresar como una combinación lineal de estos tres vectores recíprocos de base y cuyas componentes son los índices del vector, es decir, los índices de la familia de planos que describe:

σhkl = h a* + k b* + l c*
Expresión del vector de posición de cualquier punto recíproco


Relación entre las celdillas directa y recíproca.

La figura de abajo  vuelve a mostrar la relación solidaria entre las redes directa (con puntos azules) y recíproca (en verde). Se ha dibujado sólo una red plana para la mejor visualización de las relaciones de perpendicularidad entre ejes directos y recíprocos. Los terceros ejes, directo y recíproco respectivamente (c, c*) serían, en este caso, perpendiculares al plano del dibujo.



Y analíticamente, estas son las expresiones que relacionan los ejes de la celdilla directa y los de la celdilla recíproca:

Relación geométrica entre los parámetros de las celdillas directa y recíproca. V representa el volumen de la celdilla directa y el signo  x  significa producto vectorial. Recíprocamente, serían las relaciones que definen los parámetros directos a partir de los recíprocos.  El volumen de la celdilla directa se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
V = (a x b) . c = a. b. c (1 - cos2α - cos2β - cos2γ + 2 cos α cos β cos γ)1/2

Nótese que, de acuerdo con las definiciones anteriores, el módulo de a* es igual a la inversa del espaciado d100  (|a*| = 1/d100), que |b*| = 1/d010 y que |c*| = 1/d001, y que, por lo tanto los productos escalares: a.a* = 1,  a.b* = 0  y  análogamente con el resto de parejas de ejes.

Resumiendo:
  • Espacio directo (= espacio real) es el espacio en donde nosotros vivimos, en donde están los átomos..., en donde crecen los cristales..., en donde imaginamos las redes directas, es decir, las redes reales.
  • Espacio recíproco es un espacio matemático construido sobre el espacio directo (= espacio real). Es el espacio en donde imaginamos las redes recíprocas, que nos ayudarán a comprender el fenómeno de la difracción de los cristales.
  • Grande en espacio directo (es decir, grande en espacio real)”, significa “pequeño en espacio recíproco.
  • Pequeño en espacio directo (es decir, pequeño en espacio real)” significagrande en espacio recíproco”.


Como ejercicio merece la pena que el lector interesado se descargue este "applet" Java sobre la construcción de la red recíproca, original de Nicolas Schoeni y Gervais Chapuis de la Ecole Polytechnique Fédéral de Lausanne (Suiza), y totalmente libre de virus.


Resulta también muy pedagógico visitar las páginas que sobre espacio recíproco se ofrecen desde la Universidad de Cambridge a través de este enlace


Y aunque estemos desvelando aspectos que corresponden al próximo capítulo (léase el último párrafo de esta página), el lector debería también fijarse en el vídeo realizado por 
www.PhysicsReimagined.com, que muestra las relaciones geométricas entre las redes directa y recíproca, y que aquí mostramos como gif animado:
 
Relación entre espacios directo y recíproco
 


Probablemente el lector ya se habrá preguntado sobre el porqué de este nuevo concepto: la red recíproca. Pues bien, hay razones que lo justifican... y una de ellas quizá no le haya pasado desapercibida, pues poder representar toda una familia de planos por un sólo punto ya es algo que parece simplificar bastante las cosas. Pero otra razón importante es que nos servirá para obtener un modelo geométrico, muy sencillo, que interpreta el  fenómeno de la difracción en los cristales. Pero eso será objeto de otro apartado. ¡ Ánimo y adelante !


Siguiente capítulo:  Dispersión y difracción
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