Dispersión y difracción. Transformadas de Fourier
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Jean-Baptiste Joseph FourierLa transformada de Fourier, denominada así por Jean-Baptiste Joseph Fourier (matemático francés que vivió entre 1768 y 1830), es una herramienta matemática casi mágica, capaz de descomponer cualquier función periódica (en tiempo, o en espacio) en una suma de funciones de base de tipo sinusoidal (dependientes de la frecuencia), de manera similar a cómo un acorde musical puede expresarse en términos de las amplitudes (=volumen) de cada una sus notas constitutivas.

El término transformada de Fourier se refiere no sólo a la propia operación de transformación, sino también a la función que produce.



Acorde de do mayor (C major chord))
Acorde de DO MAYOR

C major chord, en notación anglosajona
(do+mi+sol) = (C+E+G)




Un buen ejemplo es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma, descomponiéndola en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.
En definitiva, la transformada de Fourier de una función periódica en el tiempo, es básicamente el espectro de frecuencias de dicha función.

Transformada de Fourier entre dos funcionesTransformada de Fourier entre dos funciones.

La función f(x), (1), es dependiente del tiempo (línea roja). Es la suma de seis funciones sinusoidales con diferente amplitud pero con frecuencias armónicamente relacionadas entre sí. La suma de dichas funciones se denomina serie de Fourier.

La transformada de Fourier ˆf(ω)(2), (línea azul) representa la amplitud vs. frecuencia, y da cuenta de las seis frecuencias y de sus correspondientes amplitudes.



(1)    
(2)   

La función (2) es la transformada de Fourier de la función (1)
La función (1) es la transformada de Fourier inversa de la función (2)

Cada una de estas funciones de base en las que se puede descomponer una función, es una exponencial compleja con una frecuencia (ω) diferente. Por lo tanto, la transformada de Fourier nos proporciona una manera única de expresar cualquier función complicada como la suma de sinusoides sencillas.


La función inversa a una transformada de Fourier se denomina transformada de Fourier inversa, también conocida como síntesis de Fourier (también denominada serie de Fourier), que es la forma mediante la cual podemos obtener cualquier función periódica original a partir de la suma de sinusoides sencillas.



El primero que aplicó las propiedades de la transformada de Fourier a los experimentos de difracción de rayos X en los cristales fue W.H. Bragg en un artículo de 1915 (Phil. Trans., A, 215, 253-274).

En otro capítulo de estas páginas veremos cómo se usa la transformada de Fourier para pasar desde el denominado espacio directo, es decir, el espacio en donde están los átomos y las moléculas (la función de densidad electrónica en los cristales), al espacio recíproco (el patrón de difracción), y viceversa. Entre ambos espacios, es decir, entre las dos funciones matemáticas que los definen, hay una transformada de Fourier, aspecto que ya se discutirá en otros capítulos...
Es necesario recordar que la transformada de Fourier ha sido una de las herramientas fundamentales patra el desarrollo de la cristalografía moderna, y merece la pena leer el excelente artículo sobre el legado de J.-B. J Fourier.



Transformación de Fourier entre los espacios directo y recíproco



Pero volvamos al punto de partida...

 
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