4. Redes directa
y recíproca
Empecemos
con un resumen de algunos conceptos vistos en apartados anteriores...
Cualquier
distribución repetitiva y periódica de un conjunto
de objetos (o motivos),
viene caracterizada por las traslaciones
que lo repiten
periódicamente. A este conjunto de traslaciones lo
denominamos red
directa (o red
real).
Izquierda: Fragmento
de la distribución de un conjunto de motivos que dan lugar a
una
red directa en el plano (2 dimensiones). Las cuadrículas
amarillas muestran una de las infinitas combinaciones de motivos
(pequeños azulejos) que generan la distribución
repetitiva y periódica. Las dimensiones de las
cuadrículas amarillas.
Derecha: Fragmento de un mosaico de La
Alhambra
mostrando igualmente repetición de motivos en 2 dimensiones
que
dan lugar a una red directa. Los lados de la cuadrícula
marcada
en rojo representan las dos traslaciones de la red directa
más
sencilla que se genera por la repetición
periódica de
motivos. Los lados de la cuadrícula marcada en amarillo
también representan una red, pero en este caso es "no
primitiva"
porque contiene más de un motivo repetitivo en su interior.
Apilamiento
periódico de bolas en el espacio de 3 dimensiones que da
lugar a
una red tridimensional (red directa). El conjunto que se
repite
en las tres direcciones del espacio es el contenido de la
pequeña caja de bordes azules, la llamada "celdilla unidad".
Las
traslaciones que describen las repeticiones en los cristales pueden
expresarse como una
combinación
lineal de tres traslaciones básicas, no coplanares, es
decir,
independientes,
que denominamos ejes
reticulares. Estos ejes
definen un paralelogramo (en 2 dimensiones), o un
paralelepípedo (en 3 dimensiones) que se
denomina celdilla
unidad. Este área elemental (en el caso de 2
dimensiones), o volumen elemental (en el caso de 3 dimensiones), que
encierra la parte
mínima de la distribución global,
genera mediante
traslaciones la
distribución completa, que en el caso que nos ocupa
(agrupaciones atómicas en 3
dimensiones) se denomina cristal.
Al margen del hecho de que la celdilla
unidad (o celdilla
elemental)
representa la unidad mínima repetitiva en lo que a
translaciones
se refiere, el lector debe tener en cuenta que el sistema de ejes que
la definen son realmente el sistema de referencia sobre los
que se
definen las coordenadas de la posición que cada
átomo
ocupa en su interior.
Izquierda: Celdilla
elemental definida por las 3 traslaciones no
coplanares
denominadas ejes reticulares
Derecha: Formación
del cristal por apilamiento de celdillas elementales en las 3
direcciones
del espacio
Dentro
de la celdilla, y debido a los elementos
de simetría
de
la distribución, hay una
parte
mínima (unidad
asimétrica)
que, por
aplicación de la simetría, genera
el contenido total de la celdilla
unidad.
El motivo
estructural se repite mediante los
elementos
de simetría, en este caso un eje helicoidal
La
repetición del motivo (unidad asimétrica)
genera
el contenido de la celdilla elemental, y la
repetición de celdillas elementales genera la
totalidad
del cristal
La
red, que es un concepto puramente matemático, puede
seleccionarse de
varias maneras sobre una misma distribución repetitiva,
aunque
sólo
alguna de estas redes está más de acuerdo con la
simetría
de la distribución de motivos...
Distribución
bidimensional repetitiva de un motivo
constituído
por dos objetos (un círculo y un triángulo)
Izquierda:
Celdillas
unidad de posibles redes directas (=redes reales) que pueden
construirse
sobre la distribución repetitiva de la figura superior.
Sólo
una de ellas (la roja) es la más acorde con la
simetría
de
la distribución
Derecha: La red de trazos rojos de
la figura de la izquierda, centrada, es la
más
acorde con la simetría de la distribución
repetitiva, y
puede
descomponerse en dos redes idénticas, una para cada objeto
del
motivo.
Tal
como se muestra en las figuras superiores, aunque especialmente en la
de la derecha, cualquier red que
describe el motivo
total (triángulo +
círculo) puede
descomponerse
en dos redes idénticas equivalentes (una para cada objeto
del
motivo
total). De este modo, el concepto de red resulta independiente de la
complejidad del motivo de la distribución, así
que puede
usarse sólo una de las redes, ya que ésta
representa a
todas las equivalentes.
Una
vez escogida una de las redes representantes, tal que se
adecúe
a la
simetría de la estructura, cualquier
punto reticular (nudo
de la red) puede
describirse
mediante un vector que sea combinación lineal entera de los
ejes
reticulares directos: R
= m
a
+ n
b
+ p
c,
siendo m,
n
y p
números
enteros. Los puntos
no reticulares
se
podrán alcanzar a partir del vector R
más
próximo
y añadiéndole las fracciones de eje reticular que
correspondan
para llegar a él:
r = R
+ r'
= (m a
+ n b
+ p c)
+ (x a
+ y b
+ z c)
Vector de
posición de cualquier punto no-reticular de
la
red directa
en
donde x,
y,
z
representan a las
correspondientes
fracciones adimensionales X/a,
Y/b,
Z/c,
y X,
Y,
Z
a las correspondientes longitudes.
Vector de
posición de un punto no-reticular
(círculo
negro)
Alternativamente, se
puede descargar y ejecutar en su propio computador esta
aplicación Java que ilustra el concepto de red
(está totalmente libre de virus y fue desarrollada
por Gervais
Chapuis y Nicolas Schöni,
École
Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suiza).
Veamos
ahora nuevos conceptos sobre redes directas (=
redes reales)...
Desde un punto de
vista geométrico, en las redes se pueden considerar líneas
y planos
reticulares que son los que pasan a
través de nudos
de la red (ó puntos
reticulares)
.
Y del mismo modo que
una de las redes se usa como representativa de todas las redes
equivalentes, aquí,
una línea o un plano, de una de las redes, se usa como
representante
de todo el conjunto de familias de planos paralelos.
Siguiendo con el razonamiento de
más arriba, cada motivo de una distribución
repetitiva puede generar su propia red, aunque todas ellas son
idénticas (roja
y azul).
Pues bien, del conjunto de
las dos familias de redes y planos
equivalentes (rojo
y azul)
de la imagen de arriba, se suele usar sólo
una de ellas, bien entendido que ésta representa a todas.
Obsérvese
que la distancia entre planos (espaciado
interplanar) es el
mismo para los planos
de color azul
o rojo. Sin
embargo, la
familia de planos rojos está separada de la familia de
planos azules por una distancia
que
depende de la separación entre objetos del motivo que
originó
la red (distancia
geométrica de
defase)
Izquierda:
Familia de
planos reticulares que cortan al eje
vertical de la celdilla en 2
partes y al eje horizontal en 1
parte. Estos
planos son
paralelos
al
tercer eje reticular que no se muestra en la figura.
Derecha: Familia de
planos reticulares que cortan al eje vertical de
la celdilla en 3
partes y al eje horizontal en 1
parte. Estos
planos son paralelos al tercer eje reticular
que no se muestra en la figura.
El
número de partes en que una familia de planos
corta a los ejes de la
celdilla puede asociarse con un triplete de números que
identifica a la familia de planos. En las tres figuras anteriores, los
cortes, y por tanto los tripletes, serían (110),
(210)
y
(310),
respectivamente, según los ejes vertical, horizontal y
perpendicular a
la
figura. En esta figura, los índices de los planos
dibujados serían
(022), es
decir, que esa familia de planos no corta al eje a,
y corta a los ejes b
y c
en 2 partes
iguales, respectivamente.
El plano que se
ha dibujado en la figura de la
izquierda forma parte de la familia de planos que corta en 2 partes iguales al
eje a,
en 2
partes iguales al eje b
y en 1
parte al eje c,
por lo que el triplete numérico que lo identifica es
(221). En la figura de la derecha el
plano dibujado, representante de una determinada familia, corta al eje a
en 2
partes, al eje b
no lo corta (0
partes) y al eje c
en 1 parte,
por lo que el
triplete numérico que lo identifica es (201).
Un
sólo
plano, como
el de la figura superior derecha, expresado por el triplete de
números que denominamos índices
de Miller,
representa y describe todo
el conjunto de
familias de planos paralelos que
pasan por cada uno de los elementos del motivo. Así, en una
estructura
cristalina, hay tantos conjuntos de familias de planos como posibles
tripletes
de números enteros que sean primos
entre sí, es decir, que no tengan un divisor
común.
La
representación
genérica de los
índices
de Miller es mediante el triplete
de
letras
hkl.
Si hay divisores comunes entre los índices de Miller, el
triplete numérico representaría a una
única familia de planos solamente. Por ejemplo, la familia
con índices (330)), que no son estrictamente reticulares,
puede considerarse como representante de 3 familias de
índices (110), y
con una
separación igual al defase geométrico de 1/3
del
original. (ver las
figuras a continuación).
Izquierda:
Tres
familias de índices (110),
cada una
respecto de su propia red, mostrando un defase geométrico
(entre redes) de 1/3
del espaciado de
cada familia.
Derecha: Conjunto
de
planos de la figura de la izquierda dibujado
sobre
una de las redes equivalentes, y por tanto con índices de
Miller
(330)
y espaciado 1/3
del de la familia (110).
De este modo, el
concepto de índices
de Miller,
restringido antes a tripletes
enteros y primos entre sí,
se
generaliza a cualquier
triplete de enteros.
Además, de esta manera, todas y cada
una
de las familias de planos, llegan a recubrir totalmente el cristal. Y
es
más, por cada punto del cristal podemos hacer pasar
infinitas
familias
de planos con una infinidad de orientaciones.
Por un punto
del cristal (en este ejemplo el centro de la
celdilla) pasan una infinidad de familias de planos con
también
infinidad de orientaciones. En este ejemplo se muestran tan solo tres
familias y tres orientaciones
Como es natural, los
espaciados interplanares pueden calcularse a partir de sus
índices
de Miller (hkl)
y de los valores de los
parámetros reticulares. En la tabla de abajo se muestran
estas
relaciones
que se simplifican para las distintas métricas de las
redes...
Cálculo
del espaciado interplanar dhkl
de una familia de planos con índices hkl
en una celdilla de
parámetros a,
b,
c, α, β,
γ.
En el caso trigonal a=b=c=A; α=β=γ.
Naturalmente,
el espaciado
también
es la distancia que separa del origen el primer plano de la familia.
Merece la pena que el lector
interesado consulte también el capítulo
sobre planos reticulares e índices de Miller que
se ofrece desde la Universidad de Cambridge.
Y
ahora
más
conceptos sobre redes: la llamada red
recíproca
...
Cualquier plano
puede caracterizarse,
también, por un vector (σhkl)
perpendicular a él.
Por
lo tanto, la proyección del vector de posición de
cualquier
punto del plano sobre esta perpendicular es constante e independiente
del
punto; es la distancia al origen de ese plano, es decir, su espaciado
(dhkl).
Cualquier plano
puede representarse por un vector
perpendicular
a él
Consideremos la familia de
planos hkl,
con distancia interplanar (espaciado) dhkl,
y del conjunto de vectores perpendiculares a dicha familia de planos,
tomemos como σhkl
el
de módulo 1/dhkl.
El producto escalar entre este vector (σhkl)
y el vector de posición (d'hkl)
de un punto perteneciente a uno de los planos de la familia es un
número entero (n)
que nos indica el orden de dicho plano dentro de la familia hkl.
Es decir:
(σhkl) . (d'hkl)
=
(1/dhkl) . (n.dhkl)
=
n
(véase figura
inferior)
n sería
0 para
el plano que pasa por el origen, 1
para el primero, 2
para
el segundo, etc.
Por lo tanto, σhkl representa a toda la familia de planos hkl
con espaciado interplanar dhkl,
y en particular para
el primero de dichos planos se cumple que el
producto |σhkl|
dhkl
=
1.
Si
definimos que el módulo del vector σhkl es 1/dhkl,
el producto de ese vector, por el espaciado dhkl de
la familia de planos,
es la unidad.
Si
tomamos un vector, 2
veces más largo que σhkl , el
espaciado de la familia de planos que
representa,
será la mitad.
A
partir de este
vector normal, de módulo 1/dhkl,
si tomamos otro que sea un número
entero (n)
de veces más largo,
para
mantener que el producto del módulo de σhkl
por dhkl
sea la
unidad,
éste nuevo vector (n.σhkl
) corresponderá
a un espaciado n
veces menor que el primero y por lo tanto describiría a la
familia de planos
nh,nk,nl.
En otras palabras, por ejemplo, los siguientes espaciados interplanares
mantendrán la relación: d100
= 2.(d200)=
3.(d
300)..., de tal modo que σ100 = (1/2).σ200 = (1/3).σ300 ... y así
para cualquier otro conjunto de planos hkl.
De este modo,
resulta que los vectores normales (σhkl) son recíprocos
a los espaciados interplanares. Los extremos de
estos
vectores
(flechas azules en la figura de debajo) forman también una
red periódica de puntos, que
por esa
propiedad
de reciprocidad se llama red
recíproca
de la red original de traslaciones. Los puntos
recíprocos así
obtenidos (círculos
verdes en la figura de debajo)
reciben el triplete de números hkl
(índices
de Miller) que representa a
la
correspondiente familia de planos.
Generación de algunos puntos
recíprocos
de una red. Por claridad del dibujo el
tercer eje de la red directa (c)
sería perpendicular al dibujo.
Las
líneas
rojas representan a los planos perpendiculares a la pantalla, cuyos
índices se indican en
azul.
Por
ejemplo, el punto recíproco de índices (3,1,0)
está
situado
sobre el vector perpendicular al plano (3,1,0)
y su
distancia
al origen O
es inversamente proporcional al
espaciado
de dicha
familia
de planos. Ver también el ejemplo animado de la figura de
abajo.
Ejemplo animado mostrando cómo
se genera la red recíproca a partir de la red directa
Como
se observa, por
construcción geométrica, la red
directa y sus planos están solidariamente asociados con la
red
recíproca. Además, sobre esta red
recíproca se
puede definir también una celdilla (celdilla
recíproca) cuyas traslaciones
periódicas
vienen determinadas por tres ejes
recíprocos que forman entre
sí
unos ángulos
recíprocos. Si
los ejes y
ángulos de la celdilla directa se denominaban con las letras
a,
b,
c, α, β, γ,
los de la celdilla recíproca
se
denominan con las mismas letras, añadiéndoles un
asterisco: a*,
b*,
c*, α*, β*, γ*.
Obviamente,
estos ejes recíprocos (a*,
b*,
c*)
corresponderán a los vectores σ100, σ010
y σ001,
respectivamente,
de forma que cualquier vector recíproco se puede expresar
como
una
combinación lineal de estos tres vectores
recíprocos de
base
y cuyas componentes son los índices del vector, es decir,
los
índices
de la familia de planos que describe:
σhkl
= h
a* + k b*
+ l
c*
Expresión
del vector
de posición de cualquier punto recíproco
Relación
entre las celdillas directa y recíproca.
La figura de abajo
vuelve a mostrar la relación
solidaria entre las redes directa (con
puntos azules)
y recíproca (en
verde). Se
ha dibujado sólo una red plana para la mejor
visualización de las relaciones de perpendicularidad entre
ejes
directos y recíprocos. Los terceros ejes, directo y
recíproco respectivamente (c, c*)
serían, en este caso, perpendiculares al plano del dibujo.
Relación
geométrica entre los
parámetros de las celdillas directa y
recíproca. V
representa el volumen de la celdilla directa y el signo x
significa producto vectorial. Recíprocamente,
serían las relaciones que definen los parámetros
directos a partir
de los recíprocos. El volumen de la celdilla
directa se
puede calcular mediante la siguiente fórmula:
V
= (a x b) . c = a. b. c (1 - cos2α -
cos2β -
cos2γ + 2 cos α
cos β cos γ)1/2
Nótese que,
de acuerdo
con las definiciones anteriores, el módulo de a*
es igual a la inversa
del
espaciado d100
(|a*|
= 1/d100),
que |b*|
= 1/d010
y que |c*|
=
1/d001,
y que, por lo
tanto los productos
escalares:
a.a*
= 1,
a.b*
= 0
y análogamente con el resto de parejas
de
ejes.
Resumiendo:
- Espacio directo (=
espacio real) es el
espacio en donde nosotros vivimos, en donde están los
átomos..., en donde crecen los cristales..., en donde
imaginamos las redes directas, es decir, las redes reales.
- Espacio
recíproco es un espacio matemático construido
sobre el espacio directo (=
espacio real). Es el espacio en donde imaginamos las redes
recíprocas, que nos ayudarán a
comprender el
fenómeno
de la difracción de los cristales.
- “Grande en espacio directo (es
decir, grande en
espacio real)”, significa “pequeño en espacio
recíproco”.
- “Pequeño en
espacio directo (es decir, pequeño en espacio real)” significa “grande en espacio
recíproco”.
Como ejercicio merece la pena que el
lector interesado se descargue este
"applet"
Java sobre la construcción de la red recíproca,
original de Nicolas Schoeni y
Gervais Chapuis de la Ecole Polytechnique
Fédéral de Lausanne (Suiza), y totalmente libre
de virus.
Resulta
también muy pedagógico visitar las
páginas que sobre espacio
recíproco se ofrecen desde la Universidad
de Cambridge a través de este enlace.
Y
aunque estemos
desvelando aspectos que corresponden al próximo
capítulo
(léase el último párrafo de esta
página),
el lector debería también fijarse
en el vídeo realizado por www.PhysicsReimagined.com,
que muestra las relaciones geométricas entre las redes
directa y
recíproca, y que aquí mostramos como gif animado:
Probablemente
el lector
ya
se habrá preguntado sobre el porqué de este nuevo
concepto: la red
recíproca.
Pues bien, hay
razones que lo justifican... y una de ellas quizá no le haya
pasado desapercibida, pues poder representar toda una familia de planos
por un
sólo punto ya es algo que parece simplificar
bastante
las cosas. Pero otra razón importante es
que
nos servirá para obtener un modelo geométrico,
muy
sencillo,
que interpreta el fenómeno de la difracción
en los cristales. Pero eso será objeto de otro apartado.
¡ Ánimo y
adelante
!
